抛物线焦点弦长公式推导过程

公式一，AB＝X1＋X2＋P。直接利用抛物线定义即可。AB＝AF＋BF＝X1＋P／2十X2＋p／2＝X1＋X2＋P。公式二。AB＝2P／Sinalpha;平方。令x＝my＋p／2，（m＝COSalpha;／Sinalpha;）代入方程得y＾2－2mPy－p＾2＝0得丨y1－y2丨＝2根号下（1＋m＾2）*P。弦长AB＝丨y1-y2｜／Sinalpha;＝2P／Sinalpha;平方。

抛物线焦点弦长公式推导过程

抛物线的焦点弦长公式有两个，一个是坐标形式的，一个是倾角形式的，设抛物线为y^2=2px。

（1）坐标形式：设过抛物线焦点F的弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），根据抛物线定义可得AF=x1+p/2，BF=x2+p/2，则AB=x1+x2+p.

（2）倾斜角形式：是过焦点F的弦AB的倾斜角为alpha;（设A点在上方），过A作x轴的垂线，则根据抛物线定义可以得到：AFcosalpha;+p=AF，解得：AF=p/（1-cosalpha;），同理可以得到：AF=p/（1+cosalpha;），则焦点弦长为：AB=AF+BF=2p/sin^2alpha;。

抛物线焦点弦长公式推导过程

抛物线

焦点弦公式2p/sina^2

证明：设抛物线为y^2=2px(pgt0)，过焦点F(p/2，0)的弦直线方程为y=k(x-p/2)，直线与抛物线交于A（x1，y1)，B(x2，y2)

联立方程得k^2(x-p/2)^2=2px，整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+k^2p^2/4=0

所以x1+x2=p(k^2+2)/k^2

由抛物线定义，AF=A到准线x=-p/2的距离=x1+p/2

BF=x2+p/2

所以AB=x1+x2+p=p(1+2/k^2+1)=2p(1+1/k^2)=2p(1+cos^2/sin^2a)=2p/sin^2a

证毕！